Question

【题目】如图，正方形的对角线交于点O，，．

（1）在图1中，点A与点E重合，与相交于点P，连接，求证：是等腰三角形．

（2）猜想与的位置关系，并说明理由．

（3）如图2，将绕点D逆时针旋转度角（）．

①当旋转角为30°时，判断的形状，并说明理由．

②在旋转的过程中，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，直接写出旋转的度数；如果不存在，直接作出判断，不必说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）①是等边三角形，理由见解析；②存在，旋转的角度为或．

【解析】

（1）先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得和的度数，再根据正方形的性质可得，从而可得的度数，然后根据三角形的内角和定理可得的度数，最后根据等腰三角形的定义即可得证；

（2）如图（见解析），过点O作于点G，过点F作于点H，先根据正方形的性质得出，再根据等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质得出，然后根据直角三角形的性质可得，最后根据矩形的判定与性质即可得；

（3）①先根据旋转的性质得出，再根据正方形的性质、角的和差得出，从而可得垂直平分EF，然后根据垂直平分线的性质可得，又根据（2）的结论、等腰三角形的三线合一可得垂直平分AB，从而可得，最后根据等量代换可得，由此即可得出结论；

②根据等腰三角形的定义，分、和，先确定点E、F的运动轨迹，从而可得为等腰三角形时，点E、F的位置，再结合①的结论，三角形全等的判定定理与性质求解即可得．

（1），点A与点E重合，

，

四边形ABCD是正方形

是等腰三角形；

（2），理由如下：

如图，过点O作于点G，过点F作于点H，则

四边形ABCD是正方形

是等腰直角三角形斜边上的中线（等腰三角形的三线合一）

在中，

四边形OFHG是平行四边形

平行四边形OFHG是矩形

；

（3）①是等边三角形，理由如下：

由旋转的性质得：

由正方形的性质得：，，

，即平分

是等腰三角形

垂直平分EF（等腰三角形的三线合一）

如图，连接OE、AE，延长OE交AB于点M

由（2）可知，

是等腰三角形

垂直平分AB（等腰三角形的三线合一）

是等边三角形；

②根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：

（ⅰ）当时，为等腰三角形

由①可知，此时旋转的度数

（ⅱ）当时，为等腰三角形

如图，由题意可知，在旋转的过程中，点E、F的运动轨迹在以点D为圆心，DA长为半径的圆上

过点O作的平行线，交圆D于点P

由①可知，

由三角形的三边关系定理得：

则以点B为圆心，BP长为半径画圆，与圆D必相交于两点，即点P、Q

即只有当点E运动至点P或点Q时，才有

当点E运动至点P时，由①可知，此时旋转的度数

当点E运动至点Q时，连接BQ、CQ、DQ

则

由①可知，为等边三角形，

，

在和中，

由旋转的性质知，

则此时旋转的角度为

故此时或

（ⅲ）当时，为等腰三角形

同（ⅱ）可得：此时或

综上，在旋转的过程中，存在为等腰三角形的情况，此时旋转的角度为或．