题目内容

如图，点E、F、G、H分别为菱形A₁B₁C₁D₁各边的中点，连接A₁F、B₁G、C₁H、D₁E得四边形A₂B₂C₂D₂，以此类推得四边形A₃B₃C₃D₃…，若菱形A₁B₁C₁D₁的面积为S，则四边形A_nB_nC_nD_n的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：由E、F、G、H分别为菱形A₁B₁C₁D₁各边的中点，得到A₁H=C₁F，又A₁H∥C₁F，利用一组边长平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形A₁HC₁F为平行四边形，根据平行线间的距离相等及平行四边形与三角形的面积公式，可得出四边形A₁HC₁F的面积等于△HB₁C₁面积的2倍，等于△A₁D₁F面积的2倍，而这三个的面积之和为菱形的面积S，可得出四边形A₁HC₁F面积为菱形面积S的一半，再由平行线等分线段定理得到A₂为A₁D₂的中点，C₂为C₁B₂的中点，B₂为B₁A₂的中点，D₂为D₁C₂的中点，利用三角形的中位线定理得到HB₂= $\text{[math]}$ A₁A₂，D₂F= $\text{[math]}$ C₁C₂，可得出A₁A₂B₂H和C₁C₂D₂F都为梯形，且高与平行四边形A₂B₂C₂D₂的高h相等（设高为h），下底与平行四边形A₂B₂C₂D₂的边A₂D₂与x相等（设A₂D₂=x），分别利用梯形的面积公式及平行四边形的面积公式表示出各自的面积，得出三个面积之比，可得出平行四边形A₂B₂C₂D₂的面积占三个图形面积的 $\text{[math]}$ ，即为四边形A₁HC₁F面积的 $\text{[math]}$ ，为菱形面积的 $\text{[math]}$ ，同理得到四边形A₃B₃C₃D₃的面积为菱形面积的（ $\text{[math]}$ ）²，以此类推，表示出四边形A_nB_nC_nD_n的面积即可．
解答：∵H为A₁B₁的中点，F为C₁D₁的中点，
∴A₁H=B₁H，C₁F=D₁F，

又A₁B₁C₁D₁为菱形，∴A₁B₁=C₁D₁，
∴A₁H=C₁F，又A₁H∥C₁F，
∴四边形A₁HC₁F为平行四边形，
∴S_{四边形A1HC1F}=2S_△HB1C1=2S_△A1D1F，
又S_{四边形A1HC1F}+S_△HB1C1+S_△A1D1F=S_{菱形A1B1C1D1}=S，
∴S_{四边形A1HC1F}= $\text{[math]}$ S，
又GD₁=B₁E，GD₁∥B₁E，
∴GB₁ED₁为平行四边形，
∴GB₁∥ED₁，又G为A₁D₁的中点，
∴A₂为A₁D₂的中点，
同理C₂为C₁B₂的中点，B₂为B₁A₂的中点，D₂为D₁C₂的中点，
∴HB₂= $\text{[math]}$ A₁A₂，D₂F= $\text{[math]}$ C₁C₂，
又A₁A₂B₂H和C₁C₂D₂F都为梯形，且高与平行四边形A₂B₂C₂D₂的高h相等（设高为h），
下底与平行四边形A₂B₂C₂D₂的边A₂D₂与x相等（设A₂D₂=x），
∴S_{梯形A1A2B2H}=S_{梯形C1C2D2F}= $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ x）h= $\text{[math]}$ xh，S_{平行四边形A2B2C2D2}=xh，
即S_{梯形A1A2B2H}：S_{梯形C1C2D2F}：S_{平行四边形A2B2C2D2}=3：3：4，
又S_{梯形A1A2B2H}+S_{梯形C1C2D2F}+S_{平行四边形A2B2C2D2}=S_{四边形A1HC1F}，
∴S_{平行四边形A2B2C2D2}= $\text{[math]}$ S_{四边形A1HC1F}= $\text{[math]}$ S，
同理S_{四边形A3B3C3D3}=（ $\text{[math]}$ ）²S，
以此类推得四边形A_nB_nC_nD_n的面积为（ $\text{[math]}$ ）^n-1S或 $\text{[math]}$ ．
故答案为：（ $\text{[math]}$ ）^n-1S或 $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，平行线等分线段定理，以及平行四边形与三角形面积的计算，利用了转化的数学思想，是一道规律型试题，灵活运用三角形中位线定理是解本题的关键．