Question

）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．

（1）求证：△BCP≌△DCP；

（2）求证：∠DPE=∠ABC；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=　58　度．

Answer 1

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．

专题：

证明题．

分析：

（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明即可；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证；

（3）根据（2）的结论解答．

解答：

（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，

∵在△BCP和△DCP中，

，

∴△BCP≌△DCP（SAS）；

（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，

∴∠CBP=∠CDP，

∵PE=PB，

∴∠CBP=∠E，

∴∠DPE=∠DCE，

∵∠1=∠2（对顶角相等），

∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，

即∠DPE=∠DCE，

∵AB∥CD，

∴∠DCE=∠ABC，

∴∠DPE=∠ABC；

（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，

∵∠ABC=58°，

∴∠DPE=58°．

故答案为：58．

点评：

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCP=∠DCP是解题的关键．