Question

直线交x轴于A，交y轴于B，将这条直线绕某点顺时针旋转90°且M、N分别为A、B的对应点（M、N在第一象限），直线MN交y轴于C，且S_△BCM=S_△BMN，双曲线过M、N两点，则k=________．

Answer 1

2
分析：过M、N点分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为E、H、F、Q，ME与NQ交与T点，两垂线的交点为P，直线AB绕某点顺时针旋转90°交x轴于K点，先求出A（-1，0），B（0，），利用勾股定理得到AB=2，则∠OAB=60°，∠OBA=30°，而∠KPA=90°，可得到∠MNT=30°，再利用旋转的性质得到MN=AB=2，则MT=1，NT=，设M点坐标为（a，b），则N点坐标为（a+，b-1），根据反比例函数图象上点的坐标特点得到k=ab=（a+）（b-1），即a-b+=0①，又S_△BCM=S_△BMN，则CM=MN，
得到MH为△CQN的中位线，所以MH=NQ，即a=（a+），解得a=，易求得b=2，于是k=ab=2．
解答：过M、N点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、H、F、Q，ME与NQ交与T点，两垂线的交点为P，直线AB绕某点顺时针旋转90°交x轴于K点，如图所示
对于y=x+，令x=0，则y=；令y=0，则x+=0，解得x=1，即A（-1，0），B（0，），AB==2，
则∠OAB=60°，∠OBA=30°，
∵∠KPA=90°，
∴∠PKA=30°，
∴∠MNT=30°，
∵直线AB绕某点顺时针旋转90°且M、N分别为A、B的对应点，
∴MN=AB=2，
∴MT=OA=1，NT=OB=，
设M点坐标为（a，b），则N点坐标为（a+，b-1），
∵双曲线过M、N两点，
∴k=ab=（a+）（b-1），即a-b+=0①，
∵S_△BCM=S_△BMN，
∴CM=MN，
∴MH=NQ，即a=（a+），解得a=，
把a=代入①得-b+=0，
∴b=2，
∴k=ab=2．
故答案为2．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的横纵坐标的积为定值；旋转的性质要熟练运用；勾股定理和含30°的直角三角形三边的关系在几何计算中常用到．