Question

（1）已知关于x的方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0有两个正整数根（m是整数），试求方程的解．
（2）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．
（a）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；
（b）若指针所指的两个数字都是（1）中方程的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是（1）中方程的解时，则乙获胜，问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明．

Answer 1

解：（1）∵方程有两个实数根，
∴m²-1≠0，
∵（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0，
∴[（m+1）x-6][（m-1）x-3]=0，
解得：x₁=，x₂=，
∵关于x的方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0有两个正整数根（m是整数），
∴，
即，
∴m=2，
∴原方程的解为：x₁=2，x₂=3；

（2）（a）列表得：

	1	2	3	4
2	1，2	2，2	3，2	4，2
3	1，3	2，3	3，3	4，3
4	1，4	2，4	3，4	4，4

则共有12种等可能的结果；

（b）乙获胜的概率大．
理由：由（a）得：P（甲获胜）=，P（乙获胜）=1-=，
故乙获胜的概率大．
分析：（1）由方程有两个实数根，可得m²-1≠0，然后利用因式分解法解此方程，又由关于x的方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0有两个正整数根（m是整数），即可求得m的值，继而求得答案；
（2）（a）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果；
（b）由（a）中的表格，即可求得甲获胜与乙获胜的概率，继而可求得答案．
点评：此题考查了一元二次方程的解法以及列表法与树状图法求概率．注意概率=所求情况数与总情况数之比；注意分类讨论思想的应用．