Question

如图，已知∠MAO=90°，△ABC为等边三角形，OA=4，AB=a，以O为圆心的圆经过C点（即C点在⊙O上）

（1）当⊙O与AC相切于点C时，a的值是多少？
（2）当a=2时，试探究⊙O与AB是什么位置关系？
（3）将△ABC绕B点逆时针旋转120°后，得到△BEF，若EF所在的直线与⊙O相切，问此时a的值是多少？

Answer 1

解：（1）∵⊙O与AC相切于C，
∴OC⊥AC于C，
又∵∠OAM=90°，△ACB为等边三角形，
则AC=AB=，
∠OAC=30°，OC=AO=2，
∴4²=2²+()²，
∴a=1
（2）∵a=2，∴AB=AC=4，
过O作OD⊥AC于D，在直角△AOD中，
∠OAC=90°-60°=30°，OA=4，
∴OD=2，AD=，
∴DC=AD=2，
∴OD垂直平分AC，则半径OC=OA=4，
∵∠OAM=90°
∴⊙O与AB相切。

（3）延长FE交射线AO于M，作OP⊥EM于P，CD⊥AO于D，
易得CD=a,AD=3a，OD=4-3a，
∵AF=4a，∠AMF=30^o
∴MF=12a，OM=12a-4
∴OP=6a-2
∵OP=OC，
即OP²=OC²
∴（6a-2）²=（a）²+（4-3a）²
a=