题目内容
【题目】如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S22＝S1S3，试证明点D为线段AC的黄金分割点．
【答案】（1）见解析；（2）
或
；（3）见解析．
【解析】
（1）先判断出
，即可得出结论；
（2）分两种情况：当
时，先判断出
是等边三角形，进而判断出
，再求出
即可得出结论；当
，利用等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）先表示出
，
，
，再由
，得出
，化简得出
，即可得出结论．
（1）证明：
，
，
，
，
，
；
（2）解：
是直角三角形，
当时，连接
，如图1，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
；
当时，连接，如图2，
，
，
，
故
、
两点的距离为或；
（3）证明：如图3，
过点
作
于
，
于
，
由（1）知，
，
，
、
、
的面积分别为
，，，
，
，
，
点
为线段
的黄金分割点．
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