Question

如图，抛物线与x轴交于点A(2，0)，交y轴于点B(0，)直线y=kx过点A与y轴交于点C与抛物线的另一个交点是D。

⑴求抛物线与直线y=kx的解析式；

⑵设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

⑶在⑵的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为，点P的横坐标为x，求与x的函数关系式，并求出的最大值．

Answer 1

 解：⑴∵经过点A(2，0)和B(0，)

∴由此得：         解得：

∴抛物线的解析式是∵直线y=kx经过点A(2，0)

∴2k=0   解得：k=

∴直线的解析式是

⑵设P的坐标是()，则M的坐标是(x，)

∴PM=()－()=  ……4分

解方程组    解得：   

∵点D在第三象限，则点D的坐标是（－8，）

由得点C的坐标是(0，)

∴CE=－()=6 由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，

即=6          

 解这个方程得：x₁=－2，x₂=－4      符合－8＜x＜2

当x₁=－2时，

当x₁=－4时，

因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是(－2，3)和(－4，)

⑶在Rt△CDE中，DE=8，CE=6

由勾股定理得：DC=

∴△CDE的周长是24

∵PM∥y轴，容易证明△PMN∽△CDE

∴，   即

化简整理得：与x的函数关系式是：

∵，∴有最大值

当x=－3时，的最大值是15