Question

如图，在?ABCD中，AB=6，AD=8，∠B=60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、BF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：首先过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I，则HI是平行四边形的高，求得平行四边形的面积，然后根据平行线的性质，以及角平分线的定义证得∠BAE=∠AEB，则BE=AB，同理求得CF的长，则EF即可求得，根据△ADG∽△EFG，相似三角形对应边上的高的比等于相似比，即可求得HG和GI，求得△ADG和△EFG的面积，根据S_阴影=S_{平行四边形ABCD}-S_△ADG-S_△EFG求解．

解答：解：过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I．
则HI=AB•sinB=6×

3

2

=3

3

，S_{平行四边形ABCD}=8×3

3

=24

3

．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
又∵∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=6，
同理，CF=CD=AB=6，
∴EF=BE+CF-BC=6+6-8=4，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△EFG，
∴

HG

GI

=

AD

EF

=

8

4

=2，
∴HG=2

3

，GI=

3

，
则S_△ADG=

1

2

AD•HG=

1

2

×8×2

3

=8

3

，
S_△EFG=

1

2

EF•GI=

1

2

×4×

3

=2

3

，
∴S_阴影=S_{平行四边形ABCD}-S_△ADG-S_△EFG=24

3

-8

3

-2

3

=14

3

．
故答案是：14

3

．

点评：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定方法，等角对等边，以及相似三角形的判定与性质，求得HG和GI的长是关键．