题目内容
如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是直径，D是 |
| AB |
| 3 |
| 5 |
（1）设CE=m，
| DE |
| BE |
（2）当AD∥OC时，求k的值；
（3）当BE=6DE时，求
|
| CD |
（参考数据：tan6°≈
| 1 |
| 10 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 7 |
分析：（1）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，再解Rt△ABC，得出BC=3，AC=4，在△BCE中利用勾股定理得出BE2=m2+9，然后根据相交弦定理得出BE•DE=AE•CE，即可求出k=
；
（2）先由平行线的性质与圆周角定理证明∠OAC=∠EBC，又∠ACB=∠BCE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△ABC∽△BEC，由相似三角形对应边成比例列出比例式BC：EC=AC：BC，求出m=
，进而得到k的值；
（3）先由BE=6DE，即k=
，得出
=
，解得m1=3，m2=
．再分两种情况讨论：①当m=3时，易证△CBE是等腰直角三角形，得出∠CBE=45°，由圆周角定理求出∠COD=90°，然后根据弧长公式求出
的长；②当m=
时，在△CBE中利用正切函数的定义求出∠CBE≈8°，由圆周角定理求出∠COD=16°，然后根据弧长公式求出
的长．
| m(4-m) |
| m2+9 |
（2）先由平行线的性质与圆周角定理证明∠OAC=∠EBC，又∠ACB=∠BCE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△ABC∽△BEC，由相似三角形对应边成比例列出比例式BC：EC=AC：BC，求出m=
| 9 |
| 4 |
（3）先由BE=6DE，即k=
| 1 |
| 6 |
| m(4-m) |
| m2+9 |
| 1 |
| 6 |
| 3 |
| 7 |
|
| CD |
| 3 |
| 7 |
|
| CD |
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，sin∠CAB=
，
∴BC=3，AC=4，
又∵BE2=m2+9，BE•DE=AE•CE，
∴k•BE2=m（4-m），即k=
；
（2）∵AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，
∵∠OAC=∠OCA，∠DAC=∠EBC，
∴∠OAC=∠EBC，
又∵∠ACB=∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，
∴BC：EC=AC：BC，即3：m=4：3，
解得m=
，
∴k=
=
=
；
（3）∵BE=6DE，即k=
，
∴
=
，
解得m1=3，m2=
．
①当m=3时，CE=BC=3，
∴∠CBE=45°，
∴∠COD=2∠CBE=90°，
的长为：
=
π；
②当m=
时，tan∠CBE=
=
=
，
∴∠CBE≈8°，
∴∠COD=2∠CBE=16°，
的长约为：
=
π．
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，sin∠CAB=
| 3 |
| 5 |
∴BC=3，AC=4，
又∵BE2=m2+9，BE•DE=AE•CE，
∴k•BE2=m（4-m），即k=
| m(4-m) |
| m2+9 |
（2）∵AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，
∵∠OAC=∠OCA，∠DAC=∠EBC，
∴∠OAC=∠EBC，
又∵∠ACB=∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，
∴BC：EC=AC：BC，即3：m=4：3，
解得m=
| 9 |
| 4 |
∴k=
| m(4-m) |
| m2+9 |
| ||||
(
|
| 7 |
| 25 |
（3）∵BE=6DE，即k=
| 1 |
| 6 |
∴
| m(4-m) |
| m2+9 |
| 1 |
| 6 |
解得m1=3，m2=
| 3 |
| 7 |
①当m=3时，CE=BC=3，
∴∠CBE=45°，
∴∠COD=2∠CBE=90°，
|
| CD |
90π×
| ||
| 180 |
| 5 |
| 4 |
②当m=
| 3 |
| 7 |
| CE |
| BC |
| ||
| 3 |
| 1 |
| 7 |
∴∠CBE≈8°，
∴∠COD=2∠CBE=16°，
|
| CD |
16π×
| ||
| 180 |
| 2 |
| 9 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，相交弦定理，平行线的性质，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定难度，利用数形结合及分类讨论的思想是解题的关键．
练习册系列答案
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10、如图所示．△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小是（ ）
AE⊥CE，连接CD．
19、如图所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．
如图所示，△ABC内接于圆O，AB是直径，过A作射线AM，若∠MAC=∠ABC．
（1）解方程：