Question

已知弦AD⊥弦BD，且AB=2，点C在圆上，CD=1，直线AD、BC交于点E
（1）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数；
（2）如图2，如果点C、D在⊙O上运动，CD的长度不变，若点E在⊙O内，求∠AEB的度数．

Answer 1

解：（1）连接OC，OD，
∵AB=2，CD=1，
∴OC=OD=CD=1，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC=60°，
∴∠DBE=∠DOC=30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE=90°，
∴∠AEB=90°-∠CBD=60°；

（2）连接OC，OD，BD，
∵AB=2，CD=1，
∴OC=OD=CD=1，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC=60°，
∴∠DBE=∠DOC=30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BED=90°-∠DBE=60°，
∴∠AEB=180°-∠BED=120°．
分析：（1）首先连接OC，OD，易得△OCD是等边三角形，然后由圆周角定理，求得∠DBC=30°，∠ADB=90°，继而求得答案；
（2）首先连接OC，OD，BD，易得△OCD是等边三角形，然后由圆周角定理，求得∠DBC=30°，∠ADB=90°，继而求得答案．
点评：此题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．