Question

如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（4分+4分+4分）

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；

（3）如果CD=15，BE=10，，求⊙O的半径．

 

Answer 1

解答： （1）证明：连接OB∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA   ∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC    ∴BC是⊙O的切线．

（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF，∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF=60°∴∠ABF=∠AOF=30°；

（3）解：如图2，过点C作CG⊥BE于G，∵CE=CB，∴EG=BE=5，

∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，∴∠GCE=∠A，∴△ADE∽△CGE，

在R_tECG中，∵CG==12，∵CD=15，CE=13，∴DE=2，

∵△ADE∽△CGE，∴，∴AD=，CG=，∴⊙O的半径OA=2AD=．