Question

已知：如图，△ABC是边长为3cm等边三角形，动点P、Q分别同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，点P速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）△PBQ能否成为等边三角形？若能，请求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形∠B=60°，所以就可以表示出BQ与PB的关系，要分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
（2）根据等边三角形的性质可得方程3-t=2t，解方程求解即可．

解答：解：（1）根据题意得AP=tcm，BQ=2tcm，
∵在△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
在△PBQ中，BP=3-t，BQ=2t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=

1

2

BP，
即2t=

1

2

（3-t），t=0.6（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=

1

2

BQ，
3-t=

1

2

×2t，t=1.5（秒）．
答：当t=0.6秒或t=1.5秒时，△PBQ是直角三角形．

（2）假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，则
BP=PQ=BQ，
即3-t=2t，
解得t=1．
故当t=1时，△BPQ是个等边三角形．

点评：本题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理、等边三角形的性质，动点问题等知识点．