Question

如图，抛物线y₁=a（x+2）²-3与y₂=

1

2

（x-3）²+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y₂的值总是正数；
②a=1； 
③当x=0时，y₂-y₁=4
④2AB=3AC．
其中正确结论是

①④

．

Answer 1

分析：根据与y₂=

1

2

（x-3）²+1的图象在x轴上方即可得出y₂的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y₁=a（x+2）²-3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出y₂-y₁的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．

解答：解：①∵抛物线y₂=

1

2

（x-3）²+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论x取何值，y₂的值总是正数，故本小题正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y₁=a（x+2）²-3得，3=a（1+2）²-3，解得a=

2

3

，故本小题错误；
③由两函数图象可知，抛物线y₁=a（x+2）²-3解析式为y₁=

2

3

（x+2）²-3，当x=0时，y₁=

2

3

（0+2）²-3=-

1

3

，y₂=

1

2

（0-3）²+1=

11

2

，故y₂-y₁=

11

2

+

1

3

=

35

6

，故本小题错误；
④∵物线y₁=a（x+2）²-3与y₂=

1

2

（x-3）²+1交于点A（1，3），
∴y₁的对称轴为x=-2，y₂的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本小题正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．