Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边平行于轴．若的三个顶点都在二次函数的图像上，则称为该二次函数图像的“伴随三角形”．为抛物的“伴随三角形”．

（1）若点是抛物线与轴的交点，求点的坐标．

（2）若点在该抛物线的对称轴上，且到边的距离为2，求的面积．

（3）设两点的坐标分别为，比较与的大小，并求的取值范围．

（4）是抛物线的“伴随三角形”，点在点的左侧，且，点的横坐标是点的横坐标的2倍，设该抛物线在上最高点的纵坐标为，当时，直接写出的取值范围和面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）当时，，当，且时，；（4），

【解析】

（1）由轴及伴随三角形的定义，抛物线的对称轴可得答案．

（2）由题意得：为抛物线的顶点，求解的坐标，结合已知条件，得到的坐标，进而求出与上的高可得的面积．

（3）先写出两点坐标，由 轴，当为抛物线的顶点时，不存在，当两点的纵坐标相等时，不存在，求解对应的的值，再利用二次函数的性质分段得到答案，

（4）由求解抛物线的对称轴，分讨论最高点的位置，求解最高点在纵坐标，代入，利用二次函数的性质求解的范围，再求解面积的最大值．

（1）当时，，∴

对称轴：，

轴，

∴

（2）在抛物线上，也在对称轴上，

为抛物线的顶点，

当时，

∴

到边的距离为2，

∴

∴当时，

，

∴，

∴

∴

（3），

①当时，为抛物线的顶点，所以不成立，

②当

解得：，，

此时结合题意：轴，不成立

③当时，如图

结合图像得：，

④当且时，结合图像可得：

⑤当时，结合图像可得：

综上：

当时，

当，且时，．

（4）

顶点

①当时，即

当时

当

解得：

由二次函数的性质得：

由，

为任意数

∴

②当时，

即：，顶点的纵坐标最大，

，

∴

综上

当时，

轴，

此时，

当时，，

当时，时

∴

此时面积最大，最大面积是