Question

如图，⊙O的直径AB=4，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．设四边形ABCD的面积为S，则S的取值范围为________．

Answer 1

S≥8
分析：根据切线的性质得到它们都和直径垂直，得到AM与NB平行，作直角梯形的另一高，构造一个直角三角形，根据切线长定理和勾股定理列方程，再表示出关于y的函数关系式；根据直角梯形的面积公式表示梯形的面积，再根据基本不等式即可求出S的范围．
解答：解：∵AB是直径，AM、BN是切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
过点D作DF⊥BC于F，则AB∥DF，
∴四边形ABFD为矩形．
∴DF=AB=4，BF=AD=x，
∵DE、DA，CE、CB都是切线，
∴根据切线长定理，得DE=DA=x，CE=CB=y，
在Rt△DFC中，DF=4，DC=DE+CE=x+y，CF=BC-BF=y-x，
∴（x+y）²=4²+（y-x）²，
化简，得y=（x＞0）．
则四边形的面积S=AB（AD+BC）=×4×（x+），即S=2（x+）=2x+（x＞0）．
∵2x+≥2=8，当且仅当x=2时，等号成立．
∴x+≥8，即S≥8．
故答案为：S≥8
点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，梯形的面积公式，矩形的判定与性质，基本不等式的运用，以及切线长定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．