Question

【题目】如图所示，平面直角坐标系中，抛物线经过、、．过点作轴交抛物线于点，过点作轴，垂足为点．点是四边形的对角线的交点，点在轴负半轴上，且．

（1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形的形状；

（2）当点、从、两点同时出发，均以每秒个长度单位的速度沿、方向运动，点运动到时、两点同时停止运动．设运动的时间为秒，在运动过程中，以、、、四点为顶点的四边形的面积为，求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在抛物线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点的坐标；不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1），四边形为正方形；（2）当时，；当时，；（3）在抛物线上存在点，，，，使以、、、为顶点的四边形是梯形．

【解析】

（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）三点，把三点坐标代入抛物线表达式中，联立方程解出a、b、c；
（2）过M作MN⊥OE于N，则MN=2，由题意可知CP=FQ=t，当0≤t<2时，OP=6－t，OQ=2－t，列出S与t的关系式，当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，当2<t<6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可证三角形全等，进而计算出三角形面积；
（3）若B、C、F、N为顶点的四边形是梯形，则四边形有两边平行，设出N点的坐标，分类讨论两边平行时N点坐标满足的条件，进而求出N点坐标．

解：（1）∵抛物线经过、、，

∴，

，

解得，，．

∴抛物线的解析式为．

四边形为正方形．

（2）连接．

根据题意，可知，，

∴，

∴，

∵运动的时间为，

∴，

过作于，则，

当时，，，

∴，

∴．

当时，与重合，点、、、不能构成四边形，

当时，连接，则且，

∵，，

∴，

∴，

∴四边形的面积，

综上所述，当时，；当时，．

（3）分三种情况：

①以为底边时，经过点作的平行线，与抛物线交于点的坐标为；

②以为底边时，经过点作的平行线，与抛物线交于点的坐标为；

③以为底边时，经过点作的平行线，与抛物线交于点的坐标为或．

故在抛物线上存在点，，，，

使以、、、为顶点的四边形是梯形．