题目内容

问题探究
（1）如图1，△ABC是钝角三角形，∠C＞90°请在图1中，将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上．
（2）如图2，△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC=12，BC=5．请在图2中，将△ABC补成矩形，使得△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，画出所有符合条件的矩形，并求此矩形的面积．
问题解决
（3）李大爷现有一个锐角三角形ABC（AB＞AC＞BC）形的鱼塘（如图3），鱼塘三个角的顶点A、B、C上各有一棵大树．现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个矩形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），并还想：三棵大树A、B、C中的两个为矩形鱼塘一边的两个端点，第三棵树落在鱼塘这一边的对边上．请你在图3中，画出所有符合条件的矩形鱼塘的示意图，并指出哪一个的周长最小？说明理由．
分析：（1）因为∠C＞90°，所以，以AB为矩形的边，过点C作AB的平行线EF，再分别过点A、B作AB的垂线与E、F分别相交于点F、E，四边形ABEF即为所求作的矩形；
（2）以AB为矩形的边，作法同（1），利用勾股定理列式求出AB，再根据三角形的面积求出AB边上的高，然后根据矩形的面积列式计算即可得解；以AC、BC为矩形的邻边，过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，相交于点D，矩形的面积等于AC•BC；
（3）分别以AB、BC、AC为矩形的一边，另一顶点在对边上，作出相应的矩形即可，设△ABC的面积为S，根据三角形的面积表示出各边上的高，然后表示出三个矩形的周长，再根据AB＞AC＞BC，两个矩形的周长作差，整理并判断出大小，即可得解．
解答：解：（1）△ABC补成矩形ABEF如图所示；


（2）如图所示，共可以作出两个矩形，

以AB为矩形的边：∵∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴AB=
AC2+BC2
=
122+52
=13，
设△ABC的边AB上的高为h，
则S△ABC=
1
2
AB•h=
1
2
AC•BC，
即
1
2
×13h=
1
2
×12×5，
解得h=
60
13
，
所以，矩形ABEF的面积=13×
60
13
=60，
以AC为边，点B在对边BD上，以BC为边，点A在对边AD上，
此时矩形ADBC的面积=AC•BC=12×5=60；

（3）分别以AB、BC、AC为矩形的一边，另一顶点在矩形的对边上，如图所示；

设△ABC的面积为S，则AB边上的高为
2S
AB
，BC边上的高为
2S
BC
，AC边上的高为
2S
AC
，
所以，三个矩形的周长分别为2（AB+
2S
AB
），2（BC+
2S
BC
），2（AC+
2S
AC
），
2（AB+
2S
AB
）-2（BC+
2S
BC
）
=2（AB-BC）+（
4S
AB
-
4S
BC
）
=2（AB-BC）-
4S•(AB-BC)
AB•BC

=2（AB-BC）•（1-
2S
AB•BC
），
∵△ABC是锐角三角形，
∴
1
2
AB•BC＞S，
∴AB•BC＞2S，
∴1-
2S
AB•BC
＞0，
因此，锐角△ABC的边越长，以此边为矩形的边作出的矩形的周长越大，
∵AB＞AC＞BC，
∴以BC边为矩形的边所作的矩形的周长最小．
点评：本题是四边形的综合题型，主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，读懂题目信息，理解矩形的作法与要求是解题的关键，（3）利用作差法求出两个矩形的周长的差的大小关系是解题的关键．
练习册系列答案
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操作实验：
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如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．
所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．
归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．
根据上述内容，回答下列问题：
思考验证：如图（4），在△ABC中，AB=AC．试说明∠B=∠C的理由；
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探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD．
（1）BE与AD是否相等，为什么？
（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
（3）∠DBC与∠DCB相等吗试？说明理由．
请阅读下列材料：
问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．
小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P即为所求．
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请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA′与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4-AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，直接写出
(2m-3)2+1
+
(8-2m)2+4
的最小值．
观察下列各个等式：12=1，12+22=5，12+22+32=14，12+22+32+42=30，…．
（1）你能从中推导出计算12+22+32+42+…+n2的公式吗？请写出你的推导过程；
（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：
已知：如图，抛物线y=-x2+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、…、An-1，分别过这n-1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、…、Bn-1，设△OBA1、
△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…、△An-1Bn-1A的面积依次为S1、精英家教网S2、S3、S4、…、Sn．
①当n=2010时，求S1+S2+S3+S4+S5+…+S2010的值；
②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？
阅读并探究下列问题：

（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中AB∥CD，则∠2与∠1、∠3有何关系？为什么？
（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中AB∥CD，则∠2+∠4与∠1+∠3+∠5有何关系？为什么？
（3）如图3，将长方形纸片剪n刀，其中AB∥CD，你又有何发现？
（4）如图4，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM=
40°
40°
．

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