Question

已知关于x的方程x2-(k+1)x+

1

4

k2+1=0的两根是一个矩形两条邻边的长，那么当k=

2

时，矩形的对角线长为

5

．

Answer 1

分析：根据根与系数的关系得出AB+BC=k+1，AB•BC=

1

4

k²+1，由勾股定理得出AB²+BC²=5，得出方程（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，求出方程的解即可．

解答：解：
根据根与系数的关系得：AB+BC=k+1，AB•BC=

1

4

k²+1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
由勾股定理得：AB²+BC²=（

5

）²=5，
（AB+BC）²-2AB•BC=5，
（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
k=2，k=-6，
当k=2时，AB+BC=K+1=3，
当k=-6时，AB+BC=k+1=-5＜0，舍去，
故答案为：2．

点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理，根与系数的关系的应用，关键是得出关于k的方程．