Question

【题目】在中，，点在底边上，的两边分别交、所在直线于、两点，，．

（1）如图1，若，，求证：；

（2）如图2，求的值（含的式子表示）；

（3）如图3，连接，若，，且，直接写出的值为______．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）3或

【解析】

（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据三线合一可得，从而得出，，利用ASA即可证出，从而得出结论；

（2）过点D作于，于，根据相似三角形的判定定理分别证出，，列出比例式即可求出结论；

（3）过点E作EG⊥BC于G，过点F作FH⊥BC于H，根据平行线可证△AEF∽△ABC，列出比例式可设AE=AF=5a，则AB=AC=8a，利用锐角三角函数用a表示各个线段，然后根据相似三角形的判定定理证出△GED∽△HDF，列出比例式即可列出关于n的方程，从而求出结论．

（1）证明：连接，

，

，

又，

，

，

，

，

而，

；

（2）解：过点D作于，于，

，

，

，

①

由（1）可知：，

，

，

②

由①式、②式知：．

（3）过点E作EG⊥BC于G，过点F作FH⊥BC于H

∵

∴∠B=45°

∴∠B=∠C=45°，△ABC、△GBE和△HCF都为等腰直角三角形， =90°

∴GE=GB，HC=HF

∵，且，

∴∠AEF=∠B=45°，∠AFE=∠C=45°，△AEF∽△ABC

∴AE=AF，

设AE=AF=5a，则AB=AC=8a

∴BE=FC=3a

∴GE=GB=BE·cos∠B=，HF=HC=FC·cos∠C=，BC=

∵∠EGD=∠DHF=∠EDF=90°

∴∠GED＋∠EDG=90°，∠HDF＋∠EDG=90°

∴∠GED=∠HDF

∴△GED∽△HDF

∴

即

∴DH=，DG=

∵GB＋DG＋DH＋HC=BC

∴＋＋＋=

整理，得

解得：n=3或

故答案为：3或．