Question

（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AC上一点，且CD=CE，连BE交AD于F．求证：BF⊥AD．
（2）如图2，正方形AGBC，D是BC延长线上一点，E是AC上一点，且CD=CE，连BE交AD于F．连CF，利用图1或图2，证明：∠BFC=45°．
（3）在图2中，若

AC

AF

=

5

，直接写出

CF

AF

=

2

．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质证明三角形全等，可以得出∠BEC=∠D，再根据角的关系就可以求出∠BFD=90°而得出结论；
（2）延长AD至H，使AH=BF，由条件可以证明△ACH≌△BCF，可以得出CF=CH，∠BCF=∠ACH，从而可以∠FCH=90°，进而得出∠CFH=45°，从而得出结论；
（3）由

AC

AF

=

5

，设AC=

5

x，AF=x，根据正方形的性质及勾股定理可以求出AB=

10

x，BF=3x，就有AH=3x，就有FH=2x，根据勾股定理就可以求出CF=

2

x，从而可以求出结论．

解答：解：（1）在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠BCE=∠ACD=90° CE=CD

，
∴三角形ACD≌三角形BCE（SAS），
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠DAC+∠D=90°，
∴∠EBC+∠D=90°，
∴∠BFD=90°，
∴BF⊥AD．
（2）延长AD至H，使AH=BF．
在△ACH和△BCF中，

AH=BF ∠DAC=∠EBC AC=BC

∴△ACH≌△BCF，
∴CF=CH，BF=AH，∠ACH=∠BCF，
∴∠ACH-∠ACF=∠BCF-∠ACF，
∴∠ACB=∠FCH．
∵∠ACB=90°，
∴∠FCH=90°，
∴∠H=∠CFH=45°．
∵∠BFD=90°，
∴∠BFC=45°．
（3）∵

AC

AF

=

5

，
∴AC=

5

x，AF=x，
∴BC=

5

x，在Rt△中，由勾股定理得：
AB=

10

x．
∵∠BFD=90°，
∴∠BFA=90°，
在Rt△AFB中，由勾股定理得：
BF=

10x2-x2

=3x．
∴AH=3x，
∴FH=2x，
在Rt△FCH中，由勾股定理得：
CF²+CH²=4x²，
∴CF²+CF²=4x²，
∴CF=

2

x，
∴

CF

AF

=

2 x

x

=

2

，
故答案为：

2

．

点评：本题考查了全等是三角形的判定与性质的运用，正方形的性质的运用，垂直的定义的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，在解答中作辅助线证明三角形全等是关键．