Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．
（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由

 

形变化为

 

形；
（2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm²）
①当x=6时，求y的值；
②当6＜x≤10时，求y与x的函数关系．

Answer 1

分析：（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可；
（2）可分为以下两种情况：
①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN，AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，求出EH，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED，求出AN=x（cm），CE=BN=10-x，DE=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，求出DF，代入梯形面积公式求出即可；

解答：解：（1）由条件可得出∠PNM=∠DAB=45°，所以有等腰Rt△PMN向右平移的过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由等腰直角三角形变化为等腰梯形；
故答案为：等腰直角三角形、等腰梯形；

（2）重叠部分图形的形状可分为两种情况：等腰Rt△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分图形的形状可分为以下两种情况：
①当0＜x≤6时，重叠部分的形状是等腰直角三角形EAN（如图①）．
此时AN=xcm，过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，
∴y=S_△ANE=

1

2

AN•EH=

1

2

x•

1

2

x=

1

4

x²，
∴当x=6时，y=

1

4

×62=9，
②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED（如图②）．
此时AN=xcm，
∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC．
又∵CE∥BN，
∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-（10-x）=x-6．
过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，
则AF=BG，DF=AF=

1

2

（10-4）=3，
∴y=S_T梯形ANED=

1

2

（DE+AN）•DF=

1

2

（x-6+x）×3=3x-9．

点评：本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．