Question

已知：把和按如图（1）摆放（点与点重合），点、（）、在同一条直线上．，，，，．如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以2 cm/s的速度沿向点匀速移动.当的顶点移动到边上时，停止移动，点也随之停止移动．与相交于点，连接，设移动时间为．

（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；是否存在某一时刻，使面积最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）

Answer 1

（1）2s；（2）3s，cm²；（3）1s

试题分析：（1）根据垂直平分线的性质可得AP=AQ，根据三角形的内角和定理可求的∠EQC=45°，即可证得CE=CQ，由题意知：CE=t，BP=2t，则CQ=t，AQ=8－t，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm，AP=10－2 t，即可求得结果；
（2）过P作，交BE于M，在Rt△ABC和Rt△BPM中，由，可得PM=，由BC =" 6" cm，CE = t可得BE = 6－t，再根据三角形的面积公式及二次函数的性质求解即可；
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上，过P作，交AC于N，证得△PAN ∽△BAC，根据相似三角形的性质可得，，由NQ = AQ－AN可得NQ = 8－t－() = ．证得△QCF∽△QNP，再根据相似三角形的性质求解即可.
（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC. 
∴CE =" CQ."
由题意知：CE = t，BP ="2" t，
∴CQ = t.
∴AQ = 8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB =" 10" cm，AP = 10－2 t.
∴10－2 t = 8－t.
解得：t = 2.
答：当t =" 2" s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）过P作，交BE于M，

∴.
在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
∴ .  
∴PM = .
∵BC =" 6" cm，CE = t， 
∴BE = 6－t.
∴y=S_△ABC－S_△BPE=－=－==
∵，
∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时，y_最小=
答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm²；
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作，交AC于N

∴.
∵，
∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴，.
∵NQ = AQ－AN，
∴NQ = 8－t－() = ．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴ . 
∴ . 
∵   
∴
解得t=1.
答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上.
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.