Question

若

a-1

+(ab-2)2=0，那么

1

a

+

1

(a+1)(b+1)

+…+

1

(a+2010)(b+2010)

的值是

3017

2012

．

Answer 1

分析：由已知等式左边为两个非负数之和，利用两非负数之和为0，两非负数分别为0列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，将求出的a与b的值代入所求式子中，利用拆项法变形，抵消合并后即可求出值．

解答：解：∵

a-1

+（ab-2）²=0，
∴a-1=0且ab-2=0，
解得：a=1，b=2，
∴

1

a

+

1

(a+1)(b+1)

+…+

1

(a+2010)(b+2010)

=1+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

=1+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

=1+

1

2

-

1

2012

=

3017

2012

．
故答案为：

3017

2012

点评：此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，根据题意得出

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

是解本题的关键．