题目内容
如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：| 1 |
| AD |
| 1 |
| AB |
| 1 |
| AC |
分析：过D引DE∥AB，交AC于E，因为AD平分∠BAC（=120°），所以∠BAD=∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．
解答：
证明：过D引DE∥AB，交AC于E．
∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°．
又∠BAD=∠EDA=60°，
所以∴△ADE是正三角形，
∴EA=ED=AD．①
由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，
∴
=
=
=1-
．②
由①，②得
=1-
，
从而
+
=
．
证明：过D引DE∥AB，交AC于E．∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°．
又∠BAD=∠EDA=60°，
所以∴△ADE是正三角形，
∴EA=ED=AD．①
由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，
∴
| DE |
| AB |
| CE |
| CA |
| CA-AE |
| CA |
| AE |
| CA |
由①，②得
| AD |
| AB |
| AD |
| AC |
从而
| 1 |
| AB |
| 1 |
| AC |
| 1 |
| AD |
点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证△CED∽△CAB是解题的关键．
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