Question

如图，△ABC是正三角形，AB=4cm，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的动点，且AD=BE=CF．
（1）试说明：△DEF是正三角形；
（2）当DF⊥AC时，求AD的长；
（3）当△DEF的面积为cm²时，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°；
由AD=BE=CF可得出：BD=AF=CE，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DE=EF=DF
∴△DEF是正三角形，

（2）解：设AF=x，在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AD=2AF=2x，
又∵AF+CF=AC
∴3x=4，x=，即AD=，

（3）解：作DM⊥EF于点M，过D作DN⊥AC于N，设AD=x，
∵∠A=60°，
∴∠ADN=30°，
∴AN=x，DN=x，
则NF=4-x-x=4-x，

当△DEF的面积为cm²时，
有面积公式：=DE•DM=DE•DFsin60°，
又∵DE=DF，
∴解得DE=2=DF，
在Rt△DFN中，由勾股定理得：2²=（x）²+（4-x）²
x=2，
∴AD=2．
故AD=2．
分析：（1）要证明△DEF是正三角形，则需证明三边相等，由边角边定理可得△ADF≌△BED≌△CFE，由此可得本题结论；
（2）设AF=x，在Rt△ADF中，∠A=60°，可得∠ADF=30°，从而AD=2AF=2x，将其代入AF+CF=AC即可求得AD的长；
（3）由△DEF的面积为cm²时，有面积公式：=DE•DFsin60°，根据DE=DF，可得DE=2，设AD=x，则FN=4-x，DN=x，根据勾股定理求出x即可．
点评：本题考查了等边三角形的性质，难度适中，关键掌握等边三角形的判定与性质及面积公式．