题目内容

（2012•南长区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的负半轴上，∠ODB=30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线y=ax2-
3
6
x+c与x轴相交于A、F两点（A在F的右侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是上述抛物线上一动点，若由点D、O、E、P构成四边形为梯形，则这样的点P有几个？试求出其中两个点P的坐标；
（3）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长．
分析：（1）解直角三角形求出OD的长度，再根据点E是BD的中点求出点E的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BD、OE的解析式，然后分①EP∥OD时，点P的纵坐标与点E的纵坐标相同，代入抛物线计算即可求出点P的横坐标，②DP∥OE时，根据平行直线的解析式的k值相等求出DP的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可；③OP∥DE时，先求出直线OP的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可；
（3）令y=0，利用抛物线解析式求出点A的坐标，过点E作EG⊥OD于G，求出AG、EG，再利用勾股定理列式计算即可求出AE的长；过点O作OK⊥AE于K，利用∠EAG的正弦值列式求出OK，余弦值列式求出AK，再根据等边三角形的性质求出KM的长度，然后分点M在点K的左边与右边两种情况解答．
解答：解：（1）∵点B（0，2），
∴OB=2，
∵∠ODB=30°，
∴OD=OB•cot30°=2
3
，
∵E为BD中点，
∴点E的坐标为（-
3
，1），
∵抛物线y=ax2-
3
6
x+c经过B（0，2）、E（-
3
，1），
∴
c=2
3a-
3
6
×(-
3
)+c=1
，
解得
a=-
1
2
c=2
，
∴抛物线的解析式为y=-
1
2
x2-
3
6
x+2；

（2）∵点B（0，2），D（-2
3
，0），
∴直线BD的解析式为y=
3
3
x+2，
∵点E（-
3
，1），
∴直线OE的解析式为y=-
3
3
x，
①EP∥OD时，点P的纵坐标与点E的纵坐标相同，为1，
∵点P在抛物线上，
∴-
1
2
x2-
3
6
x+2=1，
解得x1=-
3
（为点E，舍去），x2=
2
3
3
，
∴点P的坐标为（
2
3
3
，1），
②DP∥OE时，设直线DP的解析式为：y=-
3
3
x+m，
则-
3
3
×（-2
3
）+m=0，
解得m=-2，
所以，直线DP的解析式为y=-
3
3
x-2，
联立
y=-
3
3
x-2
y=-
1
2
x2-
3
6
x+2
，
解得
x1=
3
+
291
6
y1=
-39-
873
18
，
x2=
3
-
291
6
y2=
-39+
873
18
，
所以，点P的坐标为（
3
+
291
6
，
-39-
873
18
）或（
3
-
291
6
，
-39+
873
18
），
③OP∥DE时，直线OP的解析式为y=
3
3
x，
联立
y=
3
3
x
y=-
1
2
x2-
3
6
x+2
，
解得
x1=
-
3
+
19
2
y1=
-3+
57
6
，
x2=
-
3
-
19
2
y2=
-3-
57
6
，
∴点P的坐标为（
-
3
+
19
2
，
-3+
57
6
）或（
-
3
-
19
2
，
-3-
57
6
），
∴点P有5个，为P1（
2
3
3
，1），P2（
3
+
291
6
，
-39-
873
18
），P3（
3
-
291
6
，
-39+
873
18
），P4（
-
3
+
19
2
，
-3+
57
6
），P5（
-
3
-
19
2
，
-3-
57
6
）；

（3）令y=0，则-
1
2
x2-
3
6
x+2=0，
整理得，3x2+
3
x+12=0，
解得x1=-
4
3
3
，x2=
3
，
∵抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，
∴A点的坐标为（
3
，0），
过点E作EG⊥OD于G，∵点E（-
3
，1），
∴OG=
3
，EG=1，
∴AG=
3
+
3
=2
3
，
在Rt△AEG中，AE=
AG2+EG2
=
(2
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8
8
．
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28
25
x-x=15
28
25
x-x=15
．
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（2012•南长区一模）抛物线y=-
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x=2
x=2
．

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