题目内容

已知：如图，点A、B分别在x轴、y轴上，以OA为直径的⊙P交AB于点C $数学公式$ ，E为直径OA上一动点（与点O、A不重合）．EF⊥AB于点F，交y轴于点G．设点E的横坐标为x，△BGF的面积为y．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

解：（1）如图：
过C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，则CM= $\text{[math]}$ ，CN= $\text{[math]}$ ．
根据相交弦定理，得CM²=OM•AM，
∵OM=CN，∴AM= $\text{[math]}$ ，
∴OA=OM+AM= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2．
∴A（-2，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A，C两点坐标代入，得 $\text{[math]}$ ，
∴k= $\text{[math]}$ ，b=1，

∴直线AB的解析式为y= $\text{[math]}$ x+1；

（2）∵AB的解析式为y= $\text{[math]}$ x+1，
∴当x=0时，y=1，
∴OB=1，
∴tan∠BAO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
而∠BAO+∠ABO=90°，∠FGB+∠FBG=90°，
∴∠BAO=∠FGB，
∴tan∠FGB= $\text{[math]}$ ，
∴sin∠FGB= $\text{[math]}$ ，cos∠FGB= $\text{[math]}$ ，而E（x，0），
∴OE=-x，
∴OG=- $\text{[math]}$ x，
∴BG= $\text{[math]}$ ，
∴根据三角函数可知，GF=BG•cos∠FGB，BF=BG•sin∠FGB，
∴y= $\text{[math]}$ •BF•GF= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x）²．
分析：（1）如图，过C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，则CM= $\text{[math]}$ ，CN= $\text{[math]}$ ，根据已知可以知道OM=CN，然后证明△ACM∽△COM，利用对应边成比例可以求出AM，然后求出A的坐标，再利用待定系数法可以求出直线AB的解析式；
（2）如图依题意得到OE=-x，根据已知可以证明△GEO∽△GBF∽△ABO，然后利用它们对应边成比例，分别表示BF，GF，最后表示△BGF的面积．
点评：把三角函数，待定系数法，相似三角形的性质与判定都结合在一起，综合性比较强．