题目内容
【题目】已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3.
操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．
探究：⑴如图1，若点B与点D重合，你认为
和
全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；
⑵如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断
和
之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；
⑶如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即
的长度为多少时，
与
全等．
【答案】(1)全等，理由见解析；（2）△B1DG和△EA1G全等,△FCB1与△B1DG相似，相似比为4:3；（3）当B1C=3
时,△FCB1与△B1DG全等.
【解析】
（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，由折叠的性质可得：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，然后利用同角的余角相等，可证得∠A1DE=∠CDF，则可利用ASA证得△EDA1和△FDC全等；
（2）易得△B1DG和△EA1G全等，△FCB1与△B1DG相似，然后设FC=x，由勾股定理可得方程x2+12=（3-x）2，解此方程即可求得答案；
（3）设B1C=a，则有FC=B1D=2-a，B1F=BF=1+a，在直角△FCB1中，可得（1+a）2=（2-a）2+a2，解此方程即可求得答案．
(1)全等，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90，AB=CD，
由题意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90，CD=A1D，
∴∠A1=∠C=90，∠CDF+∠EDF=90，
∴∠A1DE=∠CDF，
在△EDA1和△FDC中，
，
∴△EDA1≌△FDC(ASA)；
（2）△B1DG和△EA1G全等，△FCB1与△B1DG相似，
设FC=x，则B1F=BF=3x，B1C=
DC=1，
∴x2+12=(3x)2，
∴x=
，
∴△FCB1与△B1DG相似，相似比为4:3.
(3)△FCB1与△B1DG全等，
设B1C=a，则有FC=B1D=2a，B1F=BF=1+a，
在直角△FCB1中，可得(1+a)2=(2a)2+a2，
整理得a26a+3=0，
解得：a=3 (另一解舍去)，
∴当B1C=3时，△FCB1与△B1DG全等.
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