Question

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

（1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN；

（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN，求此时x的值.

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠ABM+∠BAM=90°

∵∠ABM+∠CMN+∠AMN=180°，∠AMN=90°∴∠AMB+∠CMN=90°∴∠BAM=∠CMN

∴Rt△ABM∽Rt△MCN

（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴即解得：

∵     ∴,

 即：

又∵

∴当x=2时，y有最大值10.

∴当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积是10.

（3）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴，即

化简得：，解得：x=2

∴当M点运动到BC的中点时Rt△ABM ∽Rt△AMN，此时x的值为2.