Question

已知抛物线y=x²+mx+3的顶点是A，与x轴的两个交点B和C，且∠BAC是直角三角形，求实数m的值和抛物线的顶点坐标．

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，用m分别表示出A、B、C和对称轴与x轴的交点D的坐标，然后根据Rt△ABC是等腰直角三角形，由于直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：BD=AD，代入各值即可求出m的值，继而求出顶点坐标．

解答：解：如图，设对称轴与x轴的交点为D，
则有：D(-

m

2

，0)，A(-

m

2

，3-

m2

4

)，B(

-m- m2-12

2

，0)，C(

-m+ m2-12

2

，0)
由抛物线的对称性可知 Rt△ABC是等腰直角三角形，
且D是BC的中点．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：BD=AD，
∴

m2-12

2

=

m2

4

-3（或在Rt△ABC中 BC²=AB²+AC²，m2-12=2[

m2-12

4

+(3-

m2

4

)2]）
解得：m=±4，m=±2

3

（使△=0，舍去）
当m=4时，A的坐标为（-2，-1）；当m=-4时，A的坐标为（2，-1）．…（2分）

点评：此题考查二次函数的综合运用，同时考查学生的综合应用能力，解题的关键是仔细审题，理解题意；特别是要注意数形结合思想的应用．