Question

如图所示，已知在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠ABC的平分线BD交AC于D，从点C向BD的延长线作垂线CE，垂足为E，求证BD=2CE．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：延长BA，CE相交于点F． ∵BD平分∠ABC(已知)， ∴∠FBE=∠CBE(角平分线定义)． ∵BE⊥CE(已知)，∴∠BEC=∠BEF=90°(垂直定义)． 在△BFE和△BCE中， ∴△BFE≌△BCE， ∴FE=CE(全等三角形的对应边相等)，∴FC=2CE． 在Rt△BFE中， ∠FBE＋∠F=90°(直角三角形的两个锐角互余)， 在Rt△BAD中， ∠FBE＋∠BDA=90°(直角三角形的两个锐角互余)， ∴∠F=∠BDA(同角的余角相等)． 又∵∠ABC=∠ACB(已知)，∴AB=AC(等角对等边)． 在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF．∴BD=CF(全等三角形的对应边相等)， ∴BD=2CE(等量代换)．

提示：

由此图不能证得BD=2CE，考虑引辅助线，构造一条线段使它能够等于2CE，且能等于BD，即使用延长线法，延长BA，CE交于点F，证明FC=2CE，这一点可通过证明△BFE≌△BCE得到．再证明FC=BD，这一点可通过证明△FAC≌△DAB得到，由此可证得BD=2CE．