题目内容
（2013•道外区三模）如图．在△ABC中，C=90°，D、E分别在AB，AC上．将△ABC沿DE折叠，使点A落在A′处，若A′为CE的中点，连接A′B，A′D，且A′B⊥A′D，若DE=1．则DB=4
4
．分析：△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，可得∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，所以，△ACB∽△AED，A′为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求出BC=3，证△CBA′∽△EAD，求出CA′、AE、A′E，根据勾股定理求出A′B、A′D，最后根据勾股定理求出BD即可．．
解答：解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，
∴∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，
∴DE∥BC，
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
∴AE=A'E=A'C=
AC，
∴
=
，
即
=
，
∴BC=3，
∵BA′⊥AD，
∴∠BA′D=∠C=90°，
∴∠A+∠BAC=∠A′BA+∠BDA′=90°，
∵∠ABC=∠CBA′+∠A′BA，∠BDA′=∠A+∠DA′A=2∠A，
∴∠CBA′+∠A′BA+∠A=∠A′BA+2∠A=90°，
∴∠A=∠CBA′，
∵∠C=∠DEA=90°，
∴△DEA∽△BCA，
∴
=
，
∴
=
，
∴CA′=
=A′E=AE，
在Rt△BCA′，中，由勾股定理得：BA′=
=2
，
在Rt△A′ED中，由勾股定理得：A′D=
=2，
∴在Rt△BA′D中，由勾股定理得：BD=
=4，
故答案为：4．
∴∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，
∴DE∥BC，
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
∴AE=A'E=A'C=
| 1 |
| 3 |
∴
| DE |
| BC |
| AE |
| AC |
即
| 1 |
| BC |
| 1 |
| 3 |
∴BC=3，
∵BA′⊥AD，
∴∠BA′D=∠C=90°，
∴∠A+∠BAC=∠A′BA+∠BDA′=90°，
∵∠ABC=∠CBA′+∠A′BA，∠BDA′=∠A+∠DA′A=2∠A，
∴∠CBA′+∠A′BA+∠A=∠A′BA+2∠A=90°，
∴∠A=∠CBA′，
∵∠C=∠DEA=90°，
∴△DEA∽△BCA，
∴
| DE |
| CA′ |
| AE |
| BC |
∴
| 1 |
| CA′ |
| CA′ |
| 3 |
∴CA′=
| 3 |
在Rt△BCA′，中，由勾股定理得：BA′=
32+(
|
| 3 |
在Rt△A′ED中，由勾股定理得：A′D=
12+(
|
∴在Rt△BA′D中，由勾股定理得：BD=
22+(2
|
故答案为：4．
点评：本题考查了翻折变换和相似三角形的判定与性质，翻折变换后的图形全等及两三角形相似的应用，关键是求出A′D，BA′的长．
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