Question

（2012•常德）如图，已知二次函数y=

1

48

(x+2)(ax+b)的图象过点A（-4，3），B（4，4）．
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点A及点B的坐标代入函数解析式，得出a、b的值，继而可得出函数解析式；
（2）根据二次函数解析式，求出点C的坐标，然后分别求出AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理证明即可；
（3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标．

解答：解：（1）由题意得，函数图象经过点A（-4，3），B（4，4），
故可得：

3= 1 48 (-4+2)(-4a+b) 4= 1 48 (4+2)(4a+b)

，
解得：

a=13 b=-20

，
故二次函数关系式为：y=

1

48

（x+2）（13x-20）．

（2）由（1）所求函数关系式可得点C坐标为（-2，0），点D坐标为（

20

13

，0），
又∵点A（-4，3），B（4，4），
∴AB=

(4+4)2+(4-3)2

=

65

，AC=

(-2+4)2+(0-3)2

=

13

，BC=

(4+2)2+(4-0)2

=

52

，
∵满足AB²=AC²+BC²，
∴△ACB是直角三角形．

（3）存在点P的坐标，点P的坐标为（-

50

13

，

35

13

）或（-

122

13

，

284

13

）．
设点P坐标为（x，

1

48

（x+2）（13x-20）），则PH=

1

48

（x+2）（13x-20），HD=-x+

20

13

，
①若△DHP∽△BCA，则

PH

AC

=

DH

BC

，即

1 48 (x+2)(13x-20)

13

=

-x+ 20 13

52

，
解得：x=-

50

13

或x=

20

13

（因为点P在第二象限，故舍去）；
代入可得PH=

35

13

，即P₁坐标为（-

50

13

，

35

13

）；
②若△PHD∽△BCA，则

PH

BC

=

HD

AC

，即

1 48 (x+2)(13x-20)

52

=

-x+ 20 13

13

，
解得：x=-

122

13

或x=

20

13

（因为点P在第二象限，故舍去）．
代入可得PH=

284

13

，即P₂坐标为：（-

122

13

，

284

13

）．
综上所述，满足条件的点P有两个，即P₁（-

50

13

，

35

13

）、P₂（-

122

13

，

284

13

）．

点评：此题属于二次函数综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，同时还让学生探究存在性问题，本题的第三问计算量比较大，同学们要注意细心求解．