Question

如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AB、CD的中点，DB分别交AN、CM于点P、Q．下列结论：（1）DP=PQ=QB；（2）AP=CQ；（3）CQ=2MQ；（4）S_△ADP=

1

4

S_{平行四边形ABCD}．其中正确结论的个数为（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：平行四边形ABCD中，M、N分别是边AB、CD的中点，易证△ADN≌△CBM，AN∥CM，根据M是AB的中点，因而BQ=PQ，同理DP=PQ，因而DP=PQ=QB；同理易证△APD≌△CBQ，则AP=CQ；根据AB∥CD，△BMQ∽△DCQ，

MQ

CQ

=

BM

CD

=2，CQ=2MQ；根据DP=PQ=QB，AN∥CM得到△ADP与平行四边形ABCD中AD边上的高的比是1：3，因而S_△ADP=

1

6

S_{平行四边形ABCD}．

解答：解：平行四边形ABCD中，M、N分别是边AB、CD的中点，
∴DN=MB，∠MBC=∠NDA，AD=BC，
∴△ADN≌△CBM，
∴∠DNA=CMB，
∵AB∥CD，
∴∠DNA=∠NAM，
∴∠NAM=∠CMB，
∴AN∥CM，
∵M是AB的中点，
∴BQ=PQ，
同理DP=PQ，因而DP=PQ=QB，
同理易证△APD≌△CBQ，则AP=CQ，
∵AB∥CD，
∴△BMQ∽△DCQ，
∴

MQ

CQ

=

BM

CD

=2，
∴CQ=2MQ，
∵DP=PQ=QB，
∴AN∥CM得到△ADP与平行四边形ABCD中AD边上的高的比是1：3，
∴S_△ADP=

1

6

S_{平行四边形ABCD}，
∴正确结论的个数为：（1）DP=PQ=QB；（2）AP=CQ；（3）CQ=2MQ．
故选B．

点评：本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明．