Question

已知抛物线y=x²-（2m+4）x+m²-10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．
（1）用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若AB的长为2

2

，求抛物线的解析式；
（3）怎样平移（2）中的这条抛物线，使它在x轴上截得的线段长为4？

Answer 1

分析：（1）将y=x²-（2m+4）x+m²-10配方，化成y=a（x-h）²+k的形式，（h，k）即为顶点C的坐标，
（2）设方程x²-（2m+4）x+m²-10=0的两根为x₁，x₂，则AB=|x₁-x₂|，根据根与系数的关系，可求得x₁+x₂和x₁•x₂，求出m的值，从而得出抛物线的解析式；
（3）设向下平移a个单位，抛物线y=x²-（2m+4）x+m²-10-a，即AB的长为4，由（2）得出a的值．

解答：解：（1）将抛物线y=x²-（2m+4）x+m²-10配方得，
y=[x-（m+2）]²-（4m+14），
∴C（m+2，-4m-14）；

（2）设方程x²-（2m+4）x+m²-10=0的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2m+4，x₁•x₂=m²-10，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（2m+4）²-4（m²-10）=16m+56，
∵AB=|x₁-x₂|，
∴

16m+56

=2

2

，
解得m=-3，
∴抛物线的解析式y=x²+2x-1；

（3）设向下平移a个单位，抛物线y=x²-（2m+4）x+m²-10-a，
设方程x²-（2m+4）x+m²-10-a=0的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2m+4，x₁•x₂=m²-10-a，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（2m+4）²-4（m²-10-a）=16m+56+4a，
∵AB=|x₁-x₂|，
∴

16m+56+4a

=4，
解得a=2，
∴向下平移2个单位．

点评：本题考查了抛物线和x轴的交点问题，二次函数的性质以及图形与几何变换，是中考压轴题，难度偏大．