题目内容
（2013•临沂）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则
的值为
；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求
的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，
的值是否变化？证明你的结论．
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则
| PE |
| PF |
| 3 |
| 3 |
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求
| PE |
| PF |
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，
| PE |
| PF |
分析：（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得
的值；
（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得
的值；
（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得
的值；然后证明△PME∽△PNF，从而由
=
求得
的值．与（1）（2）问相比较，
的值发生了变化．
| PE |
| PF |
（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得
| PE |
| PF |
（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得
| PM |
| PN |
| PE |
| PF |
| PM |
| PN |
| PE |
| PF |
| PE |
| PF |
解答：解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA=PC；
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠PCF；
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE=∠CPF．
∵在△APE与△PCF中，
∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE=CF．
在Rt△PCF中，
=
=tan30°=
，
∴
=
．
（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴
=
．
由（1）知，
=
，
∴
=
．
（3）答：变化．
证明：如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．
∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴
=
=
，得CN=2PM．
在Rt△PCN中，
=
=tan30°=
，∴
=
．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴
=
=
．
∴
的值发生变化．
∴AB⊥BC，PA=PC；
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠PCF；
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE=∠CPF．
∵在△APE与△PCF中，
|
∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE=CF．
在Rt△PCF中，
| PF |
| CF |
| PF |
| PE |
| ||
| 3 |
∴
| PE |
| PF |
| 3 |
（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴
| PE |
| PF |
| PM |
| PN |
由（1）知，
| PM |
| PN |
| 3 |
∴
| PE |
| PF |
| 3 |
（3）答：变化．
证明：如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．
∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴
| PM |
| CN |
| AP |
| PC |
| 1 |
| 2 |
在Rt△PCN中，
| PN |
| CN |
| PN |
| 2PM |
| ||
| 3 |
| PM |
| PN |
| ||
| 2 |
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴
| PE |
| PF |
| PM |
| PN |
| ||
| 2 |
∴
| PE |
| PF |
点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点．本题三问的解题思路是一致的：即都是直接或作辅助线构造直角三角形，通过相似三角形或全等三角形解决问题．
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