Question

抛物线y=ax²+bx+c的图象于x轴交于点M（x，0），N（x₂，0），且经过点A（0，1），其中0＜x₁＜x₂，过点A的直线l交x轴于C点，与抛物线交于点B（异于A点），满足△CAN是等腰直角三角形，且，求解析式．

Answer 1

解：由条件知该抛物线开口向上，与x轴的两个交点在y轴的右侧，由于△CAN是等腰直角三角形，故点C在x轴的左侧，且∠CAN=90°，
故∠ACN=45°，从而C（-1，0），N（1，0）．
于是直线l的方程为：y=x+1．
设B（x₃，y₃），由S_△BMN=S_△AMN，知y₃=，
从而，即．
综上可知，该抛物线通过点A（0，1），，N（1，0）．
于是，
解得．
所以所求抛物线的解析式为y=4x²-5x+1．
分析：先根据已知条件判断出抛物线的开口向上，与x的两个交点在y轴的右侧，再根据△CAN是等腰直角三角形判断出C、N两点的坐标，求出过C、N两点的抛物线的解析式，设出B点坐标，根据S_△BMN=S_△AMN求出B点坐标，再用待定系数法求出此抛物线的解析式即可．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及的知识点有用待定系数法求二次函数的解析式、直角三角形的性质、三角形的面积公式、用待定系数法求一次函数的解析式等，涉及面较广，难度适中．