题目内容
（2012•无锡）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以
cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．
设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
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设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
分析：（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论；
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，构建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函数值求得PM=
PC=
-
t，然后根据PM=PQ=AQ=t列出关于t的方程，通过解方程即可求得t的值；
如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2）中求得t的值来确定此时t的取值范围；
如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，据此等量关系列出关于t的方程，通过解方程求得t的值．
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，构建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函数值求得PM=
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如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2）中求得t的值来确定此时t的取值范围；
如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，据此等量关系列出关于t的方程，通过解方程求得t的值．
解答：
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，
∴AB=BC=2，∠BAC=
∠DAB，
又∵∠DAB=60°（已知），
∴∠BAC=∠BCA=30°；
如图1，连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=
AC，
∴OB=
AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴OA=
（cm），AC=2OA=2
（cm），
运动ts后，AP=
t，AQ=t，
∴
=
=
又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），
∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）…5分
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=
PC=
-
t
由PM=PQ=AQ=t，即
-
t=t
解得t=4
-6，此时⊙P与边BC有一个公共点；
如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1
∴当4
-6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．
如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2
-
t=t，∴t=3-
．
∴当1＜t≤3-
时，⊙P与边BC有一个公共点，
当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点，
∴当t=4
-6或1＜t≤3-
或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；
当4
-6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，∴AB=BC=2，∠BAC=
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又∵∠DAB=60°（已知），
∴∠BAC=∠BCA=30°；
如图1，连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=
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∴OB=
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∴OA=
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运动ts后，AP=
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| AB |
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又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），
∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）…5分
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=
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由PM=PQ=AQ=t，即
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解得t=4
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如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1
∴当4
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如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2
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∴当1＜t≤3-
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当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点，
∴当t=4
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当4
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点评：本题综合考查了菱形的性质、直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定等性质．解答（2）题时，根据⊙P的运动过程来确定t的值，以防漏解．
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