Question

将矩形置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在上，将矩形沿折叠压平，使点落在坐标平面内，设点的对应点为点.

（1）当时，点的坐标为        ，点的坐标为       ；

（2）随着的变化，试探索：点能否恰好落在轴上？若能，请求出的值；若不能，请说明理由.

（3）如图9，若点的纵坐标为，抛物线（且为常数）的顶点落在的内部，求的取值范围.

 

Answer 1

解:(1) 点的坐标为，点的坐标为；…………………………………………3分

（2）点能恰好落在轴上.理由如下:

四边形为矩形

，…………………………………………………4分

由折叠的性质可得：，，

如图9-1，假设点恰好落在轴上，在中，由

勾股定理可得，

则有 ……………………5分

在中，

即

解得 ……………………………………7分

（3）解法一：如图9-2，过点作于，

分别与 、交于点、，过点作于

点，则，

在中，由勾股定理可得

………………………8分

在中，，

 ，

解得 …………………………………………………9分

，，（，－1）

，

∽

即解得

 

点的纵坐标为…………………………………………………………………………10分

此抛物线的顶点必在直线上   ……………………………………………………11分

又抛物线的顶点落在的内部

此抛物线的顶点必在上

     ………………………………………………………………………12分

解得

故的取值范围为   ……………………………………13分

解法二：如图9-3，过点作于点，分别与

、交于点、，设与相交于点.

，，

≌（AAS）

，

由勾股定理可得

（以下过程同解法一）

解法三：如图9-4，过点作于点，分别与、

交于点、，作交延长线于点，则有

，

在中，由勾股定理可得

…………………………………8分

（以下过程同解法一）

解法四：如图9-5，过点作交的延长线于点

、交轴于点，可仿第（2）小题两次利用勾股定

理求出的值，也可以利用

∽求出的值.   …………………………9分 

（以下过程同解法一）