Question

已知抛物线y=-

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x²+bx+c的图象的顶点D（-2，8）．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的交点为A、C，与y轴的交点为B，求A、C两点的坐标和△ABC的面积；
（3）H是线段OA上一点，过点H作PH⊥x轴，交抛物线于点P，若直线AB把△PAH分成面积相等的两部分，求H点的坐标．

Answer 1

分析：（1）将顶点D（-2，8）直接代入解析式，继而得出这个抛物线的解析式；
（2）由抛物线解析式可求出点A、C、点B的坐标，利用S_△ABC=

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×AC×OB，即可得出答案；
（3）若直线AB分△PAH为面积相等两部分，则需PH与线段BA的交点是线段PH的中点，设H（a，0），则Q（a，a+6），P（a，-

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a²-2a+6），根据QH=

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PH，可得关于a的方程，解出即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

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x²+bx+c的图象的顶点D（-2，8），
∴抛物线的解析式为：y=-

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（x+2）²+8=-

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x²-2x+6；

（2）∵y=-

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（x+2）²+8，令y=0，
∴0=-

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（x+2）²+8，
解得：x₁=-6，x₂=2，
∴A（-6，0），C（2，0），
令x=0，则y=6，
∴B（0，6），
∴S_△ABC=

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×AC×OB=

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×6×8=24；

（3）将A（-6，0），B（0，6）代入y=kx+b，
则

b=6 -6k+b=0

，
解得：

k=1 b=6

，
∴直线AB的解析式为：y=x+6，
设AB、PH交于Q，设H（a，0），
则Q（a，a+6），P（a，-

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a²-2a+6），
若直线AB把△PAH分成面积相等的两部分，则
S_△AQH=

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S_△PAH，
即QH=

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PH，
a+6=

1

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×（-

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a²-2a+6），
解得：a₁=-2，a₂=-6（舍去），
∴H点坐标为：（-2，0）．

点评：此题考查了一元二次方程的解法、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象上点的坐标意义等基础知识，难度不大．