Question

（2002•宁夏）用两种方法解答：
如图，矩形ABCD外切于半圆，AD与半圆相切于F，BC是半圆的直径，O为圆心，且BC=10cm，对角线AC交半圆于P，PE⊥BC于E．求P到BC的距离．

Answer 1

【答案】分析：解法（一）：连接OF，先利用勾股定理求出AC的长，再用切割线定理求出AP的长，根据相似三角形的性质解答即可；
解法（二）：连接BP，勾股定理求出AC的长，证明△CPB∽△CBA，相似三角形的性质PC的长，再证明△CPE∽△CAB，求出PE的长，即为所求．
解答：解：解法（一）：连接OF，
∵BC=10cm，
∴OF=OB=5cm，
在Rt△ABC中，AB=5cm，BC=10cm，
∴AC===5，
又∵AB、AC分别是⊙O的切线和割线，
∴AB²=AP•AC，即25=5AP，
解得，AP=，
∴PC=AC-AP=5-=4，
在Rt△ABC与Rt△PEC中，
∵∠PCE=∠PCE，
∴Rt△ABC∽Rt△PEC，
∴=，
∴PE===4cm；

解法（二）：连接OF、BP，
∵AD与半圆O相切于F，
∴OF⊥AD，
∵ABCD是矩形，
∴ABOF是矩形，
∴AB=OF=0.5BC=5cm，
∵BC是半圆⊙O的直径，
∴∠BPC=90°，
∵PE⊥BC，
∴△PEB∽△CEP，
∴PE：EC=BE：PE，
设PE=xcm，
EC=ycm，
则x：y=（10-y）：x，
∴x²=y（10-y），
∴∠PCE=∠ACB，
∠ABC=∠PEC=90°，
∴△ABC∽△PEC，
∴PE：AB=EC：BC，
则x：5=y：10，
∴y=2x，
解得x₁=0（舍去），
x₂=4，
∴PE=4cm，
∴P到AB的距离是4c．
点评：本题综合运用了勾股定理，相似三角形的判定和性质，注意做题时要认真仔细．