Question

【题目】如图，AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，CD交AB于点F，其中AC=AD，AD的延长线交过点B的切线BM于点E．

（1）求证：CD∥BM；

（2）连接OE交CD于点G，若DE=2，AB=4，求OG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OG=．

【解析】

（1）根据垂径定理得AB⊥CD，结合切线的性质，得AB⊥BM，进而即可得到结论；

（2）连接BD，证明BAD~EAB，易得AB2=ADAE，从而求出AE=10，根据勾股定理得BE=2，OE=2，由DF∥BE，根据平行线分线段成比例定理可得AF=，OF=，由FG∥BE，根据平行线分线段成比例定理即可求解．

（1）∵AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，BM是⊙O的切线，

∴AB⊥BM，

∵AC=AD，

∴，

∴AB⊥CD，

∴CD∥BM；

（2）连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴BD⊥AE，

∵AB⊥BE，

∴∠ADB=∠ABE=90°，

又∵∠BAD=∠EAB，

∴BAD~EAB，

∴AB2=ADAE，

∴(4)2=AD(AD+2)，

∴AD=8或AD=-10（舍去），

∴AE=10，

∴BE===2，

∴OE==2，

∵DF∥BE，

∴=，

∴=，

∴AF=，

∴OF=AF－OA=，

∵FG∥BE，

∴=，

∴=，

∴OG=．