Question

如图：AD为△ABC的高，∠B=2∠C，DC=3BD，若AD=3，求AC的长．

Answer 1

解：
在DC上截取DE=BD，连接AE，
∵CD=3BD，
∴CE=2BD=2DE，
∵BD=DE，AD⊥BE，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
∵∠AEB=∠C+∠EAC，
∴∠EAC=∠C，
∴AE=CE=2DE=2BD=BE，
设DE=a，则AE=CE=BE=2a，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD²+DE²=AE²，
∴3²+a²=（2a）²，
a=，
∴DE=，CD=3，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC==6．
分析：在DC上截取DE=BD，连接AE，求出AB=AE，求出∠B=∠AEB，根据∠B=2∠C和∠AEB=∠C+∠EAC求出∠EAC=∠C，推出AE=CE=2DE=2BD=BE，设DE=a，则AE=CE=BE=2a，在Rt△ADE中，由勾股定理得出AD²+DE²=AE²，求出a=，得出DE=，CD=3，在Rt△ADC中，由勾股定理求出AC即可．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段的垂直平分线，勾股定理，三角形的外角性质等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．