Question

如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.

（1）求弦AB的长；

（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；

（3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.

Answer 1

解：（1）如图，过O作OE⊥AB于E点.

在Rt△BOE中， OB=2，∠B=30°

所以 BE=OBsin30°=.    ………………2分

所以AB=2BE=2.                 ………………3分

（2）解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，

∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D.  

∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.                    ………………4分

又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，

∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°    ………………5分

∴∠BOD=2∠A=100°.                      ………………6分

解法二：如图，连接OA.

∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，       

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.                  ………………4分

又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，        ………………5分

∴∠BOD=2∠DAB=100°.                         ………………6分

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D.    ………………7分

∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°.     ………………8分

此时，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°.

∴△DAC∽△BOC.                                    ………………9分

∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=.            ………………10分