Question

【题目】如图，已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＝5，点E是边AB上的动点（不与A，B点重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，点H在线段AD上，且DH＝AD，连接EH，HF，记图中阴影部分的面积为S1，△EHF的面积记为S2，则S2的取值范围是_______．

Answer 1

【答案】≤S2＜

【解析】

作EM⊥BC于M，作FN⊥AD于N，根据题意可证△ADF≌△BED，可得△DFE是等腰直角三角形．可证△BME≌△ANF，可得NF=BM．所以S1=HD×BD，代入可求S1，由点E是边AB上的动点（不与A，B点重合），可得DE垂直AB时DE最小，即≤DE＜，且S2=S△DEF-S1，代入可求S2的取值范围

解：作EM⊥BC于M，作FN⊥AD于N，

∵EM⊥BD，AD⊥BC
∴EM∥AD
∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，AB=5
∴∠B=∠C=45°=∠BAD=∠DAC，BD=CD=AD=
∵DF⊥DE
∴∠ADF+∠ADE=90°且∠ADE+∠BDE=90°
∴∠ADF=∠BDE且AD=BD，∠B=∠DAF=45°
∴△ADF≌△BDE，
∴AF=BE，DE=DF
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵AF=BE，∠B=∠DAF=45°，∠EMB=∠ANF=90°
∴△BME≌△ANF
∴NF=BM
∵S1=S△EHD+S△DHF=HD×MD+HD×FN=×AD×（BM+MD）=AD2=
∵点E是边AB上的动点
∴≤DE＜，
∵S2=S△DEF-S1=DE2-

∴≤S2＜

故答案为：≤S2＜.