Question

【题目】如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为弦的⊙O交AB、AC于E、F，已知EF∥BC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若已知AE=9，CF=4，求DE长；

（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，求tan∠AFE的值及GD长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）DE=6（3）

【解析】试题分析：（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠1=∠2，得到，根据垂径定理得到OD⊥EF，根据平行线的性质得到OD⊥BC，于是得到结论；

（2）连接DE，由，得到DE=DF，根据平行线的性质得到∠3=∠4，等量代换得到∠1=∠4，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（3）过F作FH⊥BC于H，由已知条件得到∠1=∠2=∠3=∠4=30°，解直角三角形得到FH=DF=×6=3，DH=3，CH=，根据三角函数的定义得到tan∠AFE=tan∠C=；根据相似三角形到现在即可得到结论．

试题解析：（1）连接OD，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠1=∠2，

∴，

∴OD⊥EF，

∵EF∥BC，

∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）连接DE，

∵，

∴DE=DF，

∵EF∥BC，

∴∠3=∠4，

∵∠1=∠3，

∴∠1=∠4，

∵∠DFC=∠AED，

∴△AED∽△DFC，

∴，即，

∴DE2=36，

∴DE=6；

（3）过F作FH⊥BC于H，

∵∠BAC=60°，

∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，

∴FH=DF==3，DH=3，

∴CH=，

∵EF∥BC，

∴∠C=∠AFE，

∴tan∠AFE=tan∠C=；

∵∠4=∠2．∠C=∠C，

∴△ADC∽△DFC，

∴，

∵∠5=∠5，∠3=∠2，

∴△ADF∽△FDG，

∴，

∴，即，

∴DG=．