Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（-1，0），过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH垂直OB于点H，若PB=5t，且0＜t＜1，存在使P，H，Q为顶点的三角形与三角形COQ相似的t的值有________．

Answer 1

分析：由于直线过C点，因此C点的坐标为（0，-3），那么抛物线的解析式中c=-3，然后将A点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b的值；根据CQ所在直线的解析式即可求出Q的坐标，也就得出了OQ的长，然后求OH的长．利用抛物线的解析式，那么可求出B的坐标．在直角三角形BPH中，可根据BP=5t以及∠CBO的正弦值（可在直角三角形COB中求出）．得出BH的长，根据OB的长即可求出OH的长．然后OH，OQ的差的绝对值就是QH的长；再分①当H在Q、B之间．②在H在O，Q之间两种情况进行讨论；根据不同的对应角得出的不同的对应成比例线段来求出t的值．
解答：根据题意过点C的直线与x轴交于点Q，得出C点坐标为：（0，-3），
将A点的坐标为（-1，0），C（0，-3）代入二次函数解析式求出：
b=-，c=-3；
得y=x²-x-3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．
∴OB=4，
又∵OC=3，
∴BC=5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC：OB：BC=3：4：5，
∴HP：HB：BP=3：4：5，
∵PB=5t，
∴HB=4t，HP=3t．
∴OH=OB-HB=4-4t．
由y=x-3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ=4t．
①当H在Q、B之间时，QH=OH-OQ=（4-4t）-4t=4-8t．
②当H在O、Q之间时，QH=OQ-OH=4t-（4-4t）=8t-4．
综合①，②得QH=|4-8t|；
①当H在Q、B之间时，QH=4-8t，
若△QHP∽△COQ，则QH：CO=HP：OQ，得
=，
解得：t=；
若△PHQ∽△COQ，则PH：CO=HQ：OQ，得
=，
即t²+2t-1=0．
解得：t₁=-1，t₂=--1（舍去），
②当H在O、Q之间时，QH=8t-4．
若△QHP∽△COQ，则QH：CO=HP：OQ，得
=，
解得：t=；
若△PHQ∽△COQ，则PH：CO=HQ：OQ，得
=，
即t²-2t+1=0．
∴t₁=t₂=1（舍去）．
综上所述，存在t的值，t₁=-1，t₂=，t₃=，
故答案为：-1，，．
点评：本题主要考查了二次函数的性质、三角形相似等重要知识点，要注意要分Q的不同位置进行分类讨论，而在每种分类情况下又要根据不同的对应相似三角形进一步分类讨论，不要漏解．