Question

如图1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）连接，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意可设抛物线的解析式为．抛物线过原点O， ．．抛物线的解析式为，即． （2）如图1，当四边形是平行四边形时， 由，得，， ，． 点的横坐标为6．将代入， 得，； 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时点D的坐标为． 当四边形是平行四边形时，点D即为点A，此时点D的坐标为． （3）如图2，由抛物线的对称性可知：，． 若与相似， 必须有． 设交抛物线的对称轴于点，显然， 直线的解析式为． 由，得，． ．过作轴， 在中，，，． ．． 与不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．所以在该抛物线上不存在点，使得与相似．