Question

如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=60°，BE=1，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的两个底角相等、全等三角形的判定定理ASA证得△BED≌△CFD；
（2）首先证得△ABC为等边三角形，然后由等边三角形的性质、直角△BED中“30°角所对的直角边是斜边的一半”求得BD=2BE，则△ABC的周长=3BC．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
在△BDE与△CDF中，
∵

∠DEB=∠DFC ∠B=∠C BD=CD

，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；

（2）解：∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形的等边三角形），
∴AB=BC=CA，∠B=60°；
又∵DE⊥AB（已知），
∴∠EDB=30°，
在直角△BED中，BD=2BE=2（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴BC=2BD=4，
∴△ABC的周长=3BC=12．

点评：本题考查了等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答（2）题时，注意挖掘出隐含在题中的已知条件“等边△ABC的三个内角都是60°，三条边都相等”．